un polycopie d’exercices corigé détaillé pour les premières Année ST SM LMD cycle licence
Table des matières
1 Introduction 4
1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Lois internes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Arrangements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Binôme de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Nombres complexes 12
2.1 L’ensemble C des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Une construction de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Les nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Équations de type z2 = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Équations de type az2 + bz + c = 0, a 6= 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Racines n-ièmes de l’unité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Polynômes 21
3.1 L’anneau K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 L’ensemble K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Structures algébriques sur K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Polynômes à coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Division euclidienne dans K[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 K[X] est principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Fonctions polynômiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Polynôme dérivé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Polynômes irréductibles de C[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Polynômes irréductibles de R[X] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 K-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Formes n-linéaires alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Formes n-linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Formes n-linéaires alternées et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Calculs de déterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Systèmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Pivot de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Détermination du rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Résolution d’un système d’équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A Fractions rationnelles 57
A.1 L’ensemble K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Une construction de K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Un produit et une somme sur K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.3 Une injection de K[X] dans K(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bibliographie 62
Index
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